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Números Modulares

Se trata más bien de una curiosidad o divertimento matemático, en el mismo espíritu del modulador de números primos: ¿podemos ver patrones en las tablas de multiplicar?

Una forma bastante interesante de representar esta operación es de forma modular, es decir, en la multiplicación 10 × 2:

El primer factor (10) define la cantidad de puntos, es decir el módulo para todo n ∈ ℕ y el segundo constituye la forma para trazar el producto: Si 1 × 2 es 2, una línea unirá el 1 y el 2; 2 × 2 = 4, se unirá el 2 y el 4, etc.

Esta forma modular de representar los productos arroja regularidades muy interesantes. Por ejemplo, si aumento el número del módulo, pero mantengo el multiplicador, es decir de 10 × 2 paso a 1000 × 2 aparece la siguiente figura:

Cardioide, llamado así por su semejanza a un corazón. Esta figura emerge al multiplicar ×2 independiente del módulo (mayor el módulo, mayor resolución de la figura). Al multiplicar por ×3 aparecerá un Nefroide (un riñón).

La figura del cardioide aparece cotidianamente en la taza, cuando la luz del sol se refleja en las caras internas (curvas) y se proyectan sobre la superficie del café.

Un aspecto significativo resulta ser que el módulo constituye también la cantidad de figuras posibles de obtener, ya que comenzarán a repetirse cíclicamente. Es decir, en 9 × n tendré sólo 9 figuras, independiente del n. Como demostración, te invito a comprobarlo tú mismo con esta herramienta.

Entonces, en el ánimo de visualizar los patrones que pueden emerger a partir de estas figuras únicas, las dispuse en una grilla donde horizontalmente voy aumentando el módulo y verticalmente el multiplicador:

Grilla para visualizar las tablas de multiplicar a partir de las figuras únicas. Aparecen patrones en diferentes ángulos diagonales. Acá un PDF en alta resolución.

La primera fila corresponde a la multiplicación por cero, donde todas las líneas se conectan con ese punto1; la segunda fila (×1) corresponde a la identidad, la tercera fila (×2) va revelando el cardioide, la cuarta fila (×3) el nefroide, etc.

La figura describe un triángulo2 porque verticalmente las figuras se repiten en la misma secuencia y orden, tanto positivos como negativos3.

Son interesantes los patrones que se identifican en diversos ángulos de la diagonal, por ejemplo, los que llamo “productos ortogonales”: 2 × 0; 4 × 1; 6 × 2; 8 × 3; 10 × 4 … 2n + 2 × n

¿Viste algo interesante? gracias por tus comentarios

Descarga: Poster (76×75)

Notas
  1. Estas figuras están rotadas en 90 grados respecto al ejemplo inicial, para efectos de ubicar el cero en la parte superior del círculo []
  2. Como los números triangulares []
  3. Obviamente no puedo hacer lo mismo con el módulo, ya que no existe la forma negativa de representarlo []
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